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推廣后的柯西積分定理和柯西積分公式條件一樣，都是區(qū)域內(nèi)解析，邊界上連續(xù)就可以用；
但由于表達(dá)式的不同，柯西積分定理主要是用閉曲線上積分為0這個(gè)性質(zhì)，也就是積分與路徑無關(guān)，與實(shí)分析里的格林公式類似；
柯西積分公式則是利用閉曲線的積分計(jì)算曲線內(nèi)部的函數(shù)值，沒有積分為0這一條（因?yàn)榉e分公式的結(jié)構(gòu)，被積函數(shù)在閉曲線內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)）；
所以要利用積分與路徑無關(guān)的話，用柯西積分定理，要計(jì)算函數(shù)值的話，用柯西積分公式。
柯西分布是一個(gè)數(shù)學(xué)期望不存在的連續(xù)型概率分布。當(dāng)隨機(jī)變量X滿足它的概率密度函數(shù)時(shí)，稱X服從柯西分布。柯西分布也叫作柯西一洛倫茲分布，它是以奧古斯丁-路易-柯西與亨德里克-洛倫茲名字命名的連續(xù)概率分布。
柯西分布具有如下特點(diǎn)：
1、數(shù)學(xué)期望不存在。
2、方差不存在。
3、高階矩均不存在。
4、柯西分布具有可加性
根據(jù)柯西序列的定義，對(duì)任意ε>0，存在正整數(shù)N，當(dāng)m,n>N時(shí)，有|xn-xm|<ε。
于是取m=N+1，則當(dāng)n>N時(shí)，|xn-xN+1|<ε。
解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即當(dāng)n>N時(shí)，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。
向上述數(shù)列中添加{xn}的前N項(xiàng)得到{xn}本身，則由于前N項(xiàng)都是確定的實(shí)數(shù)，不會(huì)改變{xn}的有界性（即使此時(shí){xn}的上、下界發(fā)生變化）。故對(duì)任意正整數(shù)n，{xn}都是有界的。
在復(fù)變函數(shù)的積分里的例子可以發(fā)現(xiàn)，有的函數(shù)的積分只依賴于積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)，而與積分路徑的形狀無關(guān)，而有的函數(shù)，其積分不僅與積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)，而且與積分路徑的形狀也有關(guān)．深入觀察后，可知，前一類函數(shù)是解析函數(shù)．由此，可提出猜想：解析函數(shù)的積分只依賴于積分路徑的起點(diǎn)與終點(diǎn)，而與積分路徑的形狀無關(guān)．柯西在 1825 年給出此定理對(duì)猜想作了回答．也就是我們現(xiàn)在要介紹的柯西積分定理（Cauchy's integral theorem），也叫柯西—古薩定理（Cauchy–Goursat theorem）．
放松再慢慢升空，
被窩里做一個(gè)夢(mèng)，
外面的噪音太多，
說什么dont wanna know，
我想要翻過山峰，
在烏托邦里穿梭，
沒有人能打擾我，
造一座我的王國，
就關(guān)閉了所有訊號(hào)，
戴上耳機(jī)在我腦海里面尋寶 ，
再見了我的年少輕狂和莽撞 ，
再見那年夏天為你快的心跳，
much luv 4 ya，
再見我揚(yáng)起了船帆，
我發(fā)誓要掀起點(diǎn)波瀾，
對(duì)我家人朋友全都full of love，
背后風(fēng)涼話的全都聽好了，
我不會(huì) 被你的 一句話 放棄了自己 被打倒在地，
爸媽早 從小就 教育我 為人隨和 隱藏我的脾氣，
全都在看 滿懷期盼 放松點(diǎn)腳步別亂了 ，
對(duì)失去的錯(cuò)過的落魄的全部都過去了 放下吧算了，
以前的我也很墮落，
浪費(fèi)的時(shí)間都被埋沒，
躲在了角落太懦弱，
機(jī)會(huì)偷偷流過我指縫沒抓住，
想成為大家的焦點(diǎn)，
所以要把目標(biāo)定的遙遠(yuǎn)，
漫漫的長路向前跑，
做一首歌來當(dāng)作我的消遣，
放松再慢慢升空，
被窩里做一個(gè)夢(mèng)，
外面的噪音太多，
說什么dont wanna know，
我想要翻過山峰，
在烏托邦里穿梭，
沒有人能打擾我 ，
造一座我的王國 ，
在天上遨游我不需要飛機(jī)，
你停留原地對(duì)過去在回憶，
捉摸不透我往前進(jìn)的軌跡，
一步一腳印把經(jīng)驗(yàn)都堆積，
撫平了傷口 調(diào)整狀態(tài)，
我打出了漂亮的回?fù)簦?/p>
透過了落地窗，
陽光在我身上，
就像是成功的回應(yīng)，
放松再慢慢升空，
被窩里做一個(gè)夢(mèng)，
外面的噪音太多，
說什么dont wanna know，
我想要翻過山峰，
在烏托邦里穿梭，
沒有人能打擾我，
造一座我的王國。
柯西1789年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學(xué)的律師，與當(dāng)時(shí)法國的大數(shù)學(xué)家拉格朗日與拉普拉斯交往密切。柯西少年時(shí)代的數(shù)學(xué)才華頗受這兩位數(shù)學(xué)家的贊賞，并預(yù)言柯西日后必成大器。
在法國革命中輾轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)家
1830年法國爆發(fā)了推翻波旁王朝的革命，法王查理第十倉皇逃走，奧爾良公爵路易·菲力浦繼任法王。當(dāng)時(shí)規(guī)定在法國擔(dān)任公職必須宣誓對(duì)新法王效忠，由于柯西屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，他拒絕宣誓效忠，并自行離開法國。他先到瑞士，后于1832～1833年任意大利都靈大學(xué)數(shù)學(xué)物理教授，并參加當(dāng)?shù)乜茖W(xué)院的學(xué)術(shù)活動(dòng)。那時(shí)他研究了復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)展開和微分方程(強(qiáng)級(jí)數(shù)法)，并為此作出重要貢獻(xiàn)。
1833～1838年柯西先在布拉格、后在戈?duì)柶潛?dān)任波旁王朝“王儲(chǔ)”波爾多公爵的教師，最后被授予“男爵”封號(hào)。在此期間，他的研究工作進(jìn)行得較少。
1838年柯西回到巴黎。由于他沒有宣誓對(duì)法王效忠，只能參加科學(xué)院的學(xué)術(shù)活動(dòng)，不能擔(dān)任教學(xué)工作。他在創(chuàng)辦不久的法國科學(xué)院報(bào)告“和他自己編寫的期刊分析及數(shù)學(xué)物理習(xí)題”上發(fā)表了關(guān)于復(fù)變函數(shù)、天體力學(xué)、彈性力學(xué)等方面的大批重要論文。
1848年法國又爆發(fā)了革命，路易·菲力浦倒臺(tái)，重新建立了共和國，廢除了公職人員對(duì)法王效忠的宣誓。柯西于1848年擔(dān)任了巴黎大學(xué)數(shù)理天文學(xué)教授，重新進(jìn)行他在法國高等學(xué)校中斷了18年的教學(xué)工作。
1852年拿破侖第三發(fā)動(dòng)政變，法國從共和國變成了帝國，恢復(fù)了公職人員對(duì)新政權(quán)的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大學(xué)辭職。后來拿破侖第三特準(zhǔn)免除他和物理學(xué)家阿拉果的忠誠宣誓。于是柯西得以繼續(xù)進(jìn)行所擔(dān)任的教學(xué)工作，直到1857年他在巴黎近郊逝世時(shí)為止。柯西直到逝世前仍不斷參加學(xué)術(shù)活動(dòng)，不斷發(fā)表科學(xué)論文。
1857年5月23日，他突然去世，享年68歲，他因?yàn)闊岵∪ナ溃R終前，他還與巴黎大主教在說話，他說的最后一句話是：“人總是要死的，但是，他們的功績永存。”
柯西的成就
柯西是一位著名的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家，他的全集從1882年開始出版到1974年才出齊最后一卷，總計(jì)28卷。他的主要貢獻(xiàn)如下：
單復(fù)變函數(shù)
柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關(guān)于單復(fù)變函數(shù)論的。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們采用過上、下限是虛數(shù)的定積分。但沒有給出明確的定義。柯西首先闡明了有關(guān)概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實(shí)定積分的計(jì)算，級(jí)數(shù)與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。
分析基礎(chǔ)
柯西在綜合工科學(xué)校所授分析課程及有關(guān)教材給數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分(即無窮小分析，簡稱分析)以來，這門學(xué)科的理論基礎(chǔ)是模糊的。為了進(jìn)一步發(fā)展，必須建立嚴(yán)格的理論。柯西為此首先成功地建立了極限論。
其他雖然柯西主要研究分析，但在數(shù)學(xué)中各領(lǐng)域都有貢獻(xiàn)。關(guān)于用到數(shù)學(xué)的其他學(xué)科，他在天文和光學(xué)方面的成果是次要的，可是他卻是數(shù)理彈性理論的奠基人之一。
除以上所述外，他在數(shù)學(xué)中其他貢獻(xiàn)如下：
分析方面：在一階偏微分方程論中行進(jìn)丁特征線的基本概念;認(rèn)識(shí)到傅立葉變換在解微分方程中的作用等等。
幾何方面：開創(chuàng)了積分幾何，得到了把平面凸曲線的長用它在平面直線上一些正交投影表示出來的公式。
代數(shù)方面：首先證明了階數(shù)超過了的矩陣有特征值;與比內(nèi)同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式，首先明確提出置換群概念，并得到群論中的一些非平凡的結(jié)果;獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了所謂“代數(shù)要領(lǐng)”，即格拉斯曼的外代數(shù)原理。
這是一個(gè)關(guān)于復(fù)平面上全純函數(shù)的路徑積分的重要定理。
阿柯西定理說明，如果從一點(diǎn)到另一點(diǎn)有兩個(gè)不同的路徑，而函數(shù)在兩個(gè)路徑之間處處是全純的，則函數(shù)的兩個(gè)路徑積分是相等的。另一個(gè)等價(jià)的說法是，單連通閉合區(qū)域上的全純函數(shù)沿著任何可求長閉合曲線的積分是0。
柯西極限存在準(zhǔn)則又叫柯西收斂原理，給出了收斂的充分必要條件，判斷一個(gè)數(shù)列收斂的充分必要條件是，這個(gè)數(shù)列是基本列。
柯西極限存在準(zhǔn)則，又稱柯西收斂準(zhǔn)則，是用來判斷某個(gè)式子是否收斂的充要條件（不限于數(shù)列），主要應(yīng)用在以下方面：
（1）數(shù)列
（2）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
（3）函數(shù)
（4）反常積分
（5）函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
柯西高達(dá)可以說是大型機(jī)動(dòng)戰(zhàn)士最后的榮光了，而他也是在馬夫蒂叛亂中，混得風(fēng)生水起，只可惜最后哈撒韋被殺，
