首先，我認(rèn)為這個(gè)話(huà)題在數(shù)學(xué)和哲學(xué)思想領(lǐng)域的回答可能有所區(qū)別和不同，因此需要分開(kāi)作答。
我僅從數(shù)學(xué)角度來(lái)談極限。對(duì)于極限，我們最直接的理解就是高等數(shù)學(xué)里用來(lái)求解的題目。這里講一個(gè)著名的芝諾悖論：
阿基里斯是
荷馬史詩(shī)中最善跑的英雄。
芝諾是一名
古希臘哲學(xué)家。
芝諾認(rèn)為，
阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。他的論證簡(jiǎn)要說(shuō)來(lái)是這樣的。
阿基里斯要追上烏龜，首先必須到達(dá)烏龜原來(lái)的起跑點(diǎn)。可他跑到烏龜?shù)钠鹋茳c(diǎn)需要一定時(shí)間，因而當(dāng)他跑到烏龜?shù)钠鹋茳c(diǎn)時(shí)，烏龜已經(jīng)前進(jìn)了一段路了，于是他又必須花一定的時(shí)間趕到烏龜?shù)男碌乃诘狞c(diǎn)。而當(dāng)他趕到烏龜新的所在的點(diǎn)時(shí)，烏龜又已經(jīng)前進(jìn)了一段路了。因而如此下去，阿基里斯永遠(yuǎn)也追不上烏龜。
這個(gè)小故事問(wèn)題到底出在哪里？阿基里斯追不上龜么？錯(cuò)！他當(dāng)然可以，只要你給他足夠的時(shí)間和距離。只是
芝諾走入了一個(gè)思維的死門(mén)，他想闡述無(wú)限接近這個(gè)概念，也就是
無(wú)窮小。如果非要按照芝諾的想法來(lái)思考的話(huà)，會(huì)進(jìn)入一個(gè)循環(huán)里面，一切都是思考方式問(wèn)題。
其實(shí)，如果我們把第一次阿基里斯追得距離記為x，那么第二次他追得距離就是0.5x，以此類(lèi)推。形成一個(gè)等比數(shù)列（如果學(xué)過(guò)級(jí)數(shù)理論就是等比級(jí)數(shù)），我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)距離的極限是2x。也就算芝諾的概念只是2x這個(gè)距離的范圍，因此在這個(gè)距離范圍里肯定追不上。
因此，這里的2x范圍就是我們所定義的極限成立的范圍。由這個(gè)例子我們可以看出，極限就是在滿(mǎn)足一定范圍下（這個(gè)就是2x范圍內(nèi)），一組特征不斷逼近一個(gè)特定值的過(guò)程。注意，這里說(shuō)的是過(guò)程，因此極限逼近是個(gè)動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程，故采用過(guò)程這個(gè)詞更為合適。
通過(guò)伽利略的驚人假設(shè)來(lái)理解什么是極限思維，極限思維的具體過(guò)程是如何進(jìn)行的。情境是這樣的：
1 ）如果你手中拿著一塊石頭，然后將手松開(kāi)，石頭就會(huì)下落。所有的東西都是這樣。過(guò)去的物理學(xué)家說(shuō)："重的東西有回到老家 ― ‵地球′的傾向。"
2 ）假如我推一個(gè)物體，比如一輛車(chē)，或者使一個(gè)球在水平面上向前滾動(dòng)，球功了，并且會(huì)繼續(xù)滾動(dòng)一會(huì)兒，然后才靜止不動(dòng)。推得重，球就多走些；推得輕，球就早些停住。
3 ）這就是古老的外加力最簡(jiǎn)單的含義即亞里士多德的思路― "如果推動(dòng)的力不再作用的話(huà)，運(yùn)動(dòng)的物體早晚總要停止不動(dòng)。"伽利略并不滿(mǎn)足，他反問(wèn)自己："我們是否了解這些運(yùn)動(dòng)究竟是怎樣進(jìn)行的呢？"他懷著強(qiáng)烈的欲望，想探個(gè)究竟，他在想："我們知道重的物體下落，但它是怎樣下落的呢？在下落中，物體獲得速度，速度隨著下落的距離的加大而不斷加大。當(dāng)物體下落時(shí)，速度到底會(huì)發(fā)生什么情況呢？
4 ）他想測(cè)出物體下落的距離與速度增加的關(guān)系，但由于下落的速度太快，不容易準(zhǔn)確測(cè)定它的刻度值，這使他苦惱，能不能用別的方法呢？這時(shí)他忽然想到："難道不能用更方便的方法研究這個(gè)問(wèn)題嗎？圓球在斜面上向下滾動(dòng)，我應(yīng)該研究它。難道自由落體不就是一個(gè)特殊的例子嗎？― 無(wú)非其下落角度不是小于90 度，便是正好等于90 度而已！"
5 ）他研究了不同情況下的加速度，發(fā)現(xiàn)傾角越小，加速度也越小：角的大小次序和加速度減慢的次序是對(duì)應(yīng)的。當(dāng)他發(fā)現(xiàn)傾斜角的大小與加速度的減慢與聯(lián)系的原理，加速度便成為最重要的事實(shí)了。
6 ）這時(shí)，他忽然又反問(wèn)自己："這不是圖像的一半嗎？如果向上拋東西，如果向上坡方向推動(dòng)圓球，那么發(fā)生的情況不是和己有的圖像對(duì)稱(chēng)嗎？難道不是和鏡中的映像相同，是已有圖像的重復(fù)，同時(shí)又與它相互補(bǔ)充，而成為完整的圖像嗎？"當(dāng)向上拋擲一個(gè)物體的時(shí)候，并沒(méi)有正的加速度，而是負(fù)的加速度。在它上升運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，物體運(yùn)動(dòng)的速度就緩慢了下來(lái)。但是，和下落物體正的加速度相對(duì)稱(chēng)，隨著傾斜角從直上方向的90度逐漸減小，負(fù)的加速度也逐漸減少，從而和卜面一半的圖合成為一個(gè)密閉吻合的圖形。當(dāng)平面是水平的，傾斜角是零度，而物體仍在運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，情形如何呢？在每種情況下，我們都是從一定的速度開(kāi)始的。根據(jù)這個(gè)結(jié)構(gòu)，必然發(fā)生什么情況呢？水平面以下是正的加速度，水平面以上是負(fù)的加速度... ... 有沒(méi)有漸漸接近，既不是負(fù)的加速度也不是正的加速度呢？那不就是... ... 常速運(yùn)動(dòng)嗎？！一個(gè)物體在一定的方向上水平運(yùn)動(dòng)，假如沒(méi)有外力來(lái)改變它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，它將以勻速繼續(xù)運(yùn)動(dòng)... ... 直到永恒。
7 ）但常識(shí)所看到的水平運(yùn)動(dòng)卻并非如此，人們看到的還是― "外力加上去，球就運(yùn)動(dòng)，外力去掉，球就漸趨停止"。是否能再一次用極限假設(shè)的方法設(shè)計(jì)出一套實(shí)驗(yàn)讓人信服呢？伽利略果真又設(shè)計(jì)出了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，他知道用同樣的外力推動(dòng)小球，小球在不同光滑度的平面L 滾動(dòng)的距離是不同的。那么，可否用極限思維假設(shè)平面越來(lái)越光滑，空氣等其他阻力越來(lái)越小，以至最后理想化地把一切摩擦力全部消除，結(jié)果會(huì)怎樣呢？是否會(huì)永遠(yuǎn)滾動(dòng)下去呢？
8 ）經(jīng)過(guò)思考，伽利略又設(shè)計(jì)出了一個(gè)極限推導(dǎo)的實(shí)驗(yàn)，假設(shè)摩擦力小到可以忽略時(shí)，當(dāng)球滾下一個(gè)斜坡之后，由于慣性的作用，小球又可以滾上另一個(gè)斜面，直到和出發(fā)點(diǎn)一樣高的地方。如果將上升方向的斜面逐漸延長(zhǎng)，小球仍然能滾到同樣的高度，說(shuō)明小球的運(yùn)動(dòng)與斜面的傾斜度無(wú)關(guān)。那么，按極限假設(shè)法的邏輯，當(dāng)把斜面最后延伸為一條永無(wú)止境的平面時(shí)，小球也將永恒地滾動(dòng)下去。亞里士多德的被千百年來(lái)人們的常識(shí)所認(rèn)定的"真理"終于在伽利略極限假設(shè)思維面前徹底崩潰了。
極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。
謝邀。現(xiàn)成的結(jié)論是：
1 概率為零的事件未必是不可能事件，同理概率為1的事件也未必是必然事件；
2 上面的那句話(huà)和和0.9 9循環(huán)=1半毛錢(qián)關(guān)系都沒(méi)有；
3 上上面那句話(huà)和極限思想半毛錢(qián)關(guān)系都沒(méi)有。并且上面那句話(huà)不涉及取極限，因?yàn)檫@是比取極限更為底層的東西。
真心感嘆聊數(shù)學(xué)的門(mén)檻太低了，隨便什么人什么都不懂都能講，就像說(shuō)沒(méi)看過(guò)XXX書(shū)就不要談文學(xué)\歷史一樣，真希望能說(shuō)沒(méi)看過(guò)XXX就別來(lái)談某些數(shù)學(xué)問(wèn)題。“無(wú)限大平面上隨機(jī)放一個(gè)彈頭”這聽(tīng)起來(lái)挺直觀(guān)的，但是做到這些事情不是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)。不管用電腦去算還是實(shí)際做實(shí)驗(yàn)，精度永遠(yuǎn)是有限的，實(shí)際生活中再?gòu)?fù)雜的例子也做不到真正意義上在一個(gè)平面上隨機(jī)。有心的話(huà)看看概率論。
極限是表達(dá)一個(gè)點(diǎn)在鄰域內(nèi)的狀況，是個(gè)局部值。
極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級(jí)數(shù))為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來(lái)定義的。如果要問(wèn)：“數(shù)學(xué)分析是一門(mén)什么學(xué)科?”那么可以概括地說(shuō)：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科”。
極限思想作為一種數(shù)學(xué)思想,由遠(yuǎn)古的思想萌芽,到現(xiàn)在完整的極限理論,其漫長(zhǎng)曲折的演變歷程布滿(mǎn)了眾多數(shù)學(xué)家們的勤奮、智慧、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真、孜孜以求 的奮斗。
極限思想是微積分的基本思想?數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念?如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來(lái)定義的.
按照我的理解，就是對(duì)數(shù)據(jù)完成多次分類(lèi)，如同一棵樹(shù)一樣，從根開(kāi)始，到主干、枝干、葉子……
完成無(wú)限極分類(lèi)，主要運(yùn)用了兩種方法，一是遞歸方式，二是迭代方式。而主要運(yùn)用無(wú)限極分類(lèi)的地方有地址解析，面包屑導(dǎo)航等等。
兩人坐在方桌旁，相繼輪流往桌面上平放一枚同樣大小的硬幣。當(dāng)最后桌面上只剩下一個(gè)位置時(shí)，誰(shuí)放下最后一枚，誰(shuí)就算勝了。
設(shè)兩人都是高手，是先放者勝還是后放者勝？（G·波利亞稱(chēng)“由來(lái)已久的難題”） G·波利亞的精巧解法是“一猜二證”： 猜想（把問(wèn)題極端化） 如果桌面小到只能放下一枚硬幣，那么先放者必勝。 證明（利用對(duì)稱(chēng)性） 由于方桌有對(duì)稱(chēng)中心，先放者可將第一枚硬幣占據(jù)桌面中心，以后每次都將硬幣放在對(duì)方所放硬幣關(guān)于桌面中心對(duì)稱(chēng)的位置，先放者必勝。
從波利亞的精巧解法中，我們可以看到，他是利用極限的思想考察問(wèn)題的極端狀態(tài)，探索出解題方向或轉(zhuǎn)化途徑。 極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，靈活地借助極限思想，可以避免復(fù)雜運(yùn)算，探索解題新思路，現(xiàn)舉五例說(shuō)明極限思(摘抄 希望對(duì)你有所幫助）
中國(guó)古代極限思想的語(yǔ)句有很多，以下是部分詩(shī)句舉例：《夏日絕句》宋·李清照：生當(dāng)作人杰，死亦為鬼雄。至今思項(xiàng)羽，不肯過(guò)江東。《過(guò)零丁洋》宋·文天祥：辛苦遭逢起一經(jīng)，干戈寥落四周星。山河破碎風(fēng)飄絮，身世浮沉雨打萍。惶恐灘頭說(shuō)惶恐，零丁洋里嘆零丁。人生自古誰(shuí)無(wú)死，留取丹心照汗青。《龜雖壽》漢·曹操：神龜雖壽，猶有竟時(shí)。螣蛇乘霧，終為土灰。老驥伏櫪，志在千里。烈士暮年，壯心不已。盈縮之期，不但在天。養(yǎng)怡之福，可得永年。幸甚至哉，歌以詠志。極限思想是中國(guó)古代哲學(xué)的重要組成部分，這些詩(shī)句體現(xiàn)了中國(guó)古代文人對(duì)人生、自然和宇宙的思考和感悟。
